通過一道面試題目，講一講遞歸算法的時間複雜度

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相信很多同學對遞歸算法的時間複雜度都很模糊，那麼這篇來給大家通透的講一講。

同一道題目，同樣使用遞歸算法，有的同學會寫出了O(n)的代碼，有的同學就寫出了O(logn)的代碼。

這是為什麼呢？

如果對遞歸的時間複雜度理解的不夠深入的話，就會這樣！

那麼我通過一道簡單的面試題，模擬面試的場景，來帶大家逐步分析遞歸算法的時間複雜度，最後找出最優解，來看看同樣是遞歸，怎麼就寫成了O(n)的代碼。

面試題：求x的n次方

想一下這麼簡單的一道題目，代碼應該如何寫呢。最直觀的方式應該就是，一個for循環求出結果，代碼如下：

int function1(int x, int n) {
    int result = 1;  
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        result = result * x;
    }
    return result;
}

時間複雜度為O(n)，此時面試官會說，有沒有效率更好的算法呢。

如果此時沒有思路，不要說：我不會，我不知道了等等。

可以和面試官探討一下，詢問：「可不可以給點提示」。面試官提示：「考慮一下遞歸算法」。

那麼就可以寫出了如下這樣的一個遞歸的算法，使用遞歸解決了這個問題。

int function2(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1; 
    }
    return function2(x, n - 1) * x;
}

面試官問：「那麼這個代碼的時間複雜度是多少？」。

一些同學可能一看到遞歸就想到了O(log n)，其實並不是這樣，遞歸算法的時間複雜度本質上是要看: ==遞歸的次數 * 每次遞歸中的操作次數==。

那再來看代碼，這裡遞歸了幾次呢？

每次n-1，遞歸了n次時間複雜度是O(n)，每次進行了一個乘法操作，乘法操作的時間複雜度一個常數項O(1)，所以這份代碼的時間複雜度是 n × 1 = O(n)。

這個時間複雜度就沒有達到面試官的預期。於是又寫出了如下的遞歸算法的代碼：

int function3(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1) {
        return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2)*x;
    }
    return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2);
}

面試官看到後微微一笑，問：「這份代碼的時間複雜度又是多少呢？」 此刻有些同學可能要陷入了沉思了。我們來分析一下，首先看遞歸了多少次呢，可以把遞歸抽象出一棵滿二叉樹。剛剛同學寫的這個算法，可以用一棵滿二叉樹來表示（為了方便表示，選擇n為偶數16），如圖：

當前這棵二叉樹就是求x的n次方，n為16的情況，n為16的時候，進行了多少次乘法運算呢？

這棵樹上每一個節點就代表著一次遞歸併進行了一次相乘操作，所以進行了多少次遞歸的話，就是看這棵樹上有多少個節點。

熟悉二叉樹話應該知道如何求滿二叉樹節點數量，這棵滿二叉樹的節點數量就是2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 15，可以發現：這其實是等比數列的求和公式，這個結論在二叉樹相關的面試題裡也經常出現。

這麼如果是求x的n次方，這個遞歸樹有多少個節點呢，如下圖所示：(m為深度，從0開始)

時間複雜度忽略掉常數項-1之後，這個遞歸算法的時間複雜度依然是O(n)。對，你沒看錯，依然是O(n)的時間複雜度！

此時面試官就會說：「這個遞歸的算法依然還是O(n)啊」， 很明顯沒有達到面試官的預期。

那麼O(logn)的遞歸算法應該怎麼寫呢？

想一想剛剛給出的那份遞歸算法的代碼，是不是有哪裡比較冗餘呢，其實有重複計算的部分。

於是又寫出如下遞歸算法的代碼：

int function4(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    int t = function4(x, n / 2);
    if (n % 2 == 1) {
        return t * t * x;
    }
    return t * t;
}

再來看一下現在這份代碼時間複雜度是多少呢？

依然還是看他遞歸了多少次，可以看到這裡僅僅有一個遞歸調用，且每次都是n/2 ，所以這裡我們一共調用了log以2為底n的對數次。

每次遞歸了做都是一次乘法操作，這也是一個常數項的操作，那麼這個遞歸算法的時間複雜度才是真正的O(logn)。

此時大家最後寫出了這樣的代碼並且將時間複雜度分析的非常清晰，相信面試官是比較滿意的。

對於遞歸的時間複雜度，畢竟初學者有時候會迷糊，刷過很多題的老手依然迷糊。

本篇我用一道非常簡單的面試題目：求x的n次方，來逐步分析遞歸算法的時間複雜度，注意不要一看到遞歸就想到了O(logn)！

同樣使用遞歸，有的同學可以寫出O(logn)的代碼，有的同學還可以寫出O(n)的代碼。

對於function3 這樣的遞歸實現，很容易讓人感覺這是O(log n)的時間複雜度，其實這是O(n)的算法！

int function3(int x, int n) {
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 1) {
        return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2)*x;
    }
    return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2);
}

可以看出這道題目非常簡單，但是又很考究算法的功底，特別是對遞歸的理解，這也是我面試別人的時候用過的一道題，所以整個情景我才寫的如此逼真，哈哈。大廠面試的時候最喜歡用「簡單題」來考察候選人的算法功底，注意這裡的「簡單題」可並不一定真的簡單哦！如果認真讀完本篇，相信大家對遞歸算法的有一個新的認識的，同一道題目，同樣是遞歸，效率可是不一樣的！